角的平分线的性质
课 题：角的平分线的性质
教材分析：
本节课是人教版八年级上册第十一章第三节内容，在此之前学习了角平分线地尺规作图，这为这节课学习角平分线的性质做好了铺垫；本章前面学习的全等三角形的有关知识，为本节课证明角平分线地性质创造了条件；本节课对角平分线性质的探究为今后学习图形对称。等腰三角形奠定了基础；对角平分线性质的证明为学生学会思考问题，注重书写格式，清楚地表达思考的过程提供了方法，使学生体会证明的必要性；角平分线性质的应用为证明线段相等、角相等开辟了新的途径。
学情分析：
本节课教材在学生已探索过角平分线地基础上，让学生回顾这一性质及探究过程，尝试让学生完成性质定理的证明，并类比研究线性垂直平分线性质定理的逆定理的过程，通过学生构建角平分线性质定理的逆命题引导学生验证这个命题的真假-即证明，再次印证证明的必要性。同时角平分线的性质定理和判定定理又分别是证明线段相等和角相等的方法，对学生后续学习几何有非常大的作用。
教学目标
1．知识与技能
通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．
2．过程与方法
经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．
3．情感、态度与价值观
激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．
教学重、难点与关键
1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理．
2．难点：两个互逆定理的实际应用．
3．关键：可通过学生折纸活动得到角平分线上的点到角的两边的距离相等的结论．利用全等来证明它的逆定理．
教学过程
一、创设情境，导入新课
【问题探究】（投影显示）
如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？
【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1）直观地进行讲述，提出探究的问题．
【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理．
【教师活动】
请同学们和老师一起完成下面的作图问题．
操作观察：
已知：∠AOB．
求法：∠AOB的平分线．
作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．（2）分别以M、N为圆心，大于
MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求（课本图11．3─2）．
【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．
【媒体使用】投影显示学生的“画图”．
【教学形式】小组合作交流．
二、随堂练习，巩固深化
课本P19练习．
【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD与直线AB是互相垂直的．
【探研时空】（投影显示）
如课本图11．3─3，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生．
【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等．”
论证如下：
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E（课本图11．3─4）
求证：PD=PE．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中，
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD=PE
【归纳如下】
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流．
三、情境合一，优化思维
【问题思索】（投影显示）
如课本图11．3─5，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
【学生活动】四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线．
证明如下：
已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明：经过点P作射线OC．
∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的平分线．
【教师活动】启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．
【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
【教学形式】自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．
四、范例点击，应用所学
【例】如课本图11．3─6，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．
【教师活动】操作投影仪，显示例子，分析例子，引导学生参与．
证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F．
∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
∴PD=PE
同理 PE=PF
∴PD=PE=PF
即点P到边AB、BC、CA的距离相等．
【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．
【学生活动】参与教师分析，主动探究学习．
五、随堂练习，巩固深化
课本P22练习．
六、课堂总结，发展潜能
1．学生自行小结角平分线性质及其逆定理，和它们的区别．
2．说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，说明这一点是三角形的内切圆的圆心（为以后学习设伏）．
七、布置作业，专题突破
1．课本P22习题11．3第1、2、3题．
2．选用课时作业设计．
教学反思：
1.本节课强调学生动手操作，自主探究，注重师生之间的互相合作交流。在一系列“画一画”“比一比”的探究活动中培养了学生乐于动手，勤于实践的意识和习惯，切实提高了学生的动手能力，实践能力，注重引导学生体验知识的形成的过程，并从中获取知识和能力。
2.注重转变学生学习方式，本节课的教学内容主要采用了讨论法，即课堂上教师提出合适的数学问题，通过学生与学生之间的相互讨论、相互学习，在问题的解决过程中发现新知的产生过程。在教学活动中，通过学生的自主学习来体现他们的主体地位，而教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的主导作用。另外，在学生合作学习的同时，始终坚持对学生进行“学疑结合”、“学思结合”、“学用结合”的学法指导，这对学生的主体意识和创造能力的培养有着积极的意义。
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