直角三角形的全等判定（HL)

课    题：直角三角形的全等判定（HL)

教材分析：

本节课是人教版八年级上册《特殊三角形》的一课，是在学生已经经历了一般三角形的全等判定、勾股定理及其逆定理的验证相关知识的基础上，对直角三角形全等的判定作进一步深入和拓展，同时又是要进一步研究角平分线、轴对称、等腰三角形、四边形等知识的工具性内容，具有不容忽视的基石作用，因此本节课在教材中起着承上启下的作用。

学情分析：

本节课之前，学生已学习了用尺规作三角形、一般三角形全等的判定、勾股定理及其逆定理，具有一定的推理能力；有较强的自我意识，思维仍以直观形象思维为主，抽象逻辑思维还不成熟，严格的演绎证明仍有待提高。经历了两个学期的初中学习，已初步具备自主探索与合作交流的经验，但探究问题还缺乏有效性，提出问题表达不清，归纳总结能力有代提高。

教学目标

   1．知识与技能

   在操作、比较中理解直角三角形全等的过程，并能用于解决实际问题。

   2．过程与方法

   经历探索直角三角形全等判定的过程，掌握数学方法，提高合情推理的能力。

   3．情感、态度与价值观

   培养几何推理意识，激发学生求知欲，感悟几何思维的内涵。

教学重点：理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法。

教学难点：培养有条理的思考能力，正确使用“综合法”表达。

教学过程

   一、回顾交流，迁移拓展

   【问题探究】

图1是两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形才能全等？

   【教师活动】操作投影仪，提出“问题探究”，组织学生讨论．

   【学生活动】小组讨论，发表意见：“由三角形全等条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了．”

   【媒体使用】投影显示“问题探究”．

   【教学形式】分四人小组，合作、讨论．

【情境导入】如图2所示．

   舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．

   （1）你能帮他想个办法吗？

   （2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

   工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？

   【思路点拨】（1）学生可以回答去量斜边和一个锐角，或直角边和一个锐角，但对问题（2）学生难以回答．此时，教师可以引导学生对工作人员提出的办法及结论进行思考，并验证它们的方法，从而展开对直角三角形特殊条件的探索．

   【教师活动】操作投影仪，提出问题，引导学生思考、验证．

   【学生活动】思考问题，探究原理．

   做一做如课本图11．2─11：任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？

   【学生活动】画图分析，寻找规律．如下：99.com

规律：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

   

二、范例点击，应用所学

【例4】如课本图11．2─12，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证BC=AD．

   【思路点拨】欲证BC=AD，首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有△ABD和△BAC，△ADO和△BCO，O为DB、AC的交点，经过条件的分析，△ABD和△BAC具备全等的条件．

   【教师活动】引导学生共同参与分析例4．

   证明：∵AC⊥BC，BD⊥BD，

   ∴∠C与∠D都是直角．

在Rt△ABC和Rt△BAD中，

   ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．

   ∴BC=AD．

   【学生活动】参与教师分析，提出自己的见解．

   【评析】在证明两个直角三角形全等时，要防止学生使用“SSA”来证明．

   【媒体使用】投影显示例4．

   三、随堂练习，巩固深化

   课本P14第练习1、2题．

   【探研时空】

如图3，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方面的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DEF的大小有什么关系？

           

   下面是三个同学的思考过程，你能明白他们的意思吗？（如图4所示）

   →△ABC≌△DEF→∠ABC→∠DEF→∠ABC+∠DEF=90°．

   有一条直角边和斜边对应相等，所以△ABC与△DEF全等．这样∠ABC=∠DEF，也就是∠ABC+∠DEF=90°．

   在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，因此这两个三角形是全等的，这样∠ABC=∠DEF，所以∠ABC与∠DEF是互余的．

   【教学形式】这个问题涉及的推理比较复杂，可以通过全班讨论，共同解决这个问题，但不需要每个学生自己独立说明理由，只要求学生能看懂三位同学的思考过程就可以了．

   四、课堂总结，发展潜能

   本节课通过动手操作，在合作交流、比较中共同发现问题，培养直观发现问题的能力，在反思中发现新知，体会解决问题的方法．通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探求，可知判定直角三角形全等有五种方法．（教师让学生讨论归纳）

   五、布置作业，专题突破

   1．课本P16习题11．2第7，8题，P18阅读与思考．

2．选用课时作业设计．

 教学反思：

   通过本节课的学习学生的能力得到充分的发挥与提高，如学生的动手能力，语言表达能力，解决问题的能力，团体协作能力得到充分的培养。而且课堂多样化，学习气氛浓厚，不同层次学生们都有一定的收获。本节课教师重视学法，让学生经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，掌握终身受益的研究数学问题的方法。但在今后的教学中要继续重视培养学生提问问题的意识和能力。新课改的课堂模式如何避免“两极分化”，如何让基础弱的学生加强学习信心，以及让学习轻松的学生保持新鲜度与积极性是后续要研究与加强的。https://math.sqnu.edu.cn/sfrz/zc