等比数列-理学院

２．引导学生学会等比数列的表示方法，灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比以及指定项；引导学生掌握前n项和的推导过程．
３．通过通项公式认识等比数列的性质，运用前n项和公式来解决生活中的某些实际问题．
（二）能力目标
通过对等比数列概念、通项公式的学习，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质，并在前n项和公式的推导过程中体会分类讨论的思想方法．
（三）情感态度价值观
通过学习等比数列的概念，培养学生严密的思维习惯以及实事求是的科学态度；通过对等比数列的学习，让学生认识到数学学习的应用价值，帮助他们树立正确的价值观．

重点和难点
１．教学重点
等比数列的定义；通项公式；等比数列前n项和公式的推导、证明以及应用．
２．教学难点
等比数列通项公式及前n项和公式的推导以及灵活应用．
教学过程
（一）创设情境，由生活问题向学习内容贴近教师为学生创设问题情境．
在很久以前，古希腊国王发现了64格棋盘的趣味性，决定要大大嘉奖发明它的宰相，并允许其说出想要的奖品．宰相的赏赐要求很简单，即在棋盘的第一格子内放一粒麦子，第二个格子内放两粒麦子，此后每个格子的麦粒数目都是上一个格子的二倍，他就要这64格棋盘上摆满的麦粒．国王一听，认为这个赏赐太简单，便随口答应了下来．那么问题来了，这64格棋盘究竟可以放多少麦粒呢，国王是否会真正的答应他呢？
师：同学们你们如何来计算这道趣味数学题目呢？
生：（思考之后）这相当于求1+2+4+…+2⁶³，化简的结果为2⁶⁴-1，通过计算机可以发现其结果约为，那么这么多麦粒到底有多重呢？我们可以将抽象的数字细化为生活中常见的重量单位．一千粒麦子的重量约为40克，那么这堆麦粒的总重量大约为7000亿吨，为此国王
应该不会同意宰相的要求．

【设计意图】通过创设数学问题情境，可以将枯燥乏味的数学知识与生活实际内容紧密地联系起来，让学生真正地意识到数学来源于生活，又应用于生活．从而激发学生的学习兴趣，使学生积极地投入到教学活动之中.

（二）在小组合作探究中，提升数学核心素养

师：刚才我们解决了麦粒问题，如果将２^０、２^１、２^２、２^３…２^６４排列在一起，可以发现这是一个等比数列，而那个相加的公式便是等比数列的前６４项求和公式．从这个特殊的案例，我们是否可以尝试推导一下常规情况下的等比数列前n项和公式呢？

生1：我知道这是运用了类比的方法，根据特殊情况来类推常规情况．我们可以观察麦粒求和的公式来发现等比数列的前n项和公式．

师：这位同学说得非常对，我们可以利用麦粒求和算式来类推等比数列的前n项求和公式，大家以小组为单位，尝试一下能否推导出来这个公式呢？

小组以前后桌为单位开展了小组合作学习，运用集体的智慧来推导求和公式．教师在这个过程中巡视，并对学生们在讨论过程中遇到的问题进行适当的点拨．当所有的小组讨论结束后，教师邀请一名同学上台演示推导过程．

【设计意图】新课程改革背景下，教师要引导学生开展小组探究合作，来帮助学生相互学习、优势互补，不仅可以提升数学教学的质量，还可以培养学生的合作意识以及探究精神，达到培养核心素养的目的．

（三）学以致用，提高学生的数学应用能力

教师利用多媒体课件为学生出示例题1．

教师邀请两名学生上台进行演示，其他学生在下面利用草稿纸进行计算．

【设计意图】在上面的教学环节中，教师刚刚带领学生推导出公式，学生的印象比较深刻，正所谓趁热打铁，教师立刻为学生布置较为简单的例题，来帮助他们巩固基础．同时，教师还可以帮助学生纠正错误，并强调书写的规范性，以此来提高学生的计算能力，培养他们良好的计算习惯．

教师为学生出示例题2．

某大型商场为了增加营业额，筹备了某方案，方案之中预计今年要销售计算机５０００台，假设此后每年的销售量均比上一年增加１０个百分点．问：从今年开始，大约几年可以使总销售量达到３００００台．（结果精确到个位）教师引导学生分析问题，可以发现基数是５０００，增长的比例为１０％，最终销售的总量是３００００．与本章节内容相联系，就可以发现利用这些数学元素可以构建一个等比数列的关系式，所求解的ｎ即为最终答案，通过带入公式求得ｎ的结果为１０．为此，大约十年可以使销售的总量达到预期的３００００台．

师：通过分析这道应用题，我们可以总结出相应的答题步骤．首先，阅读题目，寻找数学元素，构建数学模型．然后，分析数学模型，利用数学知识解答相应的实际问题．最后，将

数学答案与实际问题所求的量进行对接，并结合实际情况思考答案是否正确．

【设计意图】数学知识来源于生活，自然也要用来解决实际的问题．在平时的教学过程中，教师要善于寻找符合生活实际的例子，而不是直接以数字的形式呈现给学生，这样可以帮助学生培养生活化的思维．同时，教师还要引导学生善于发现生活中的数学问题，并选取合适的数学模型来解决数学问题，从而培养他们的解题能力，为数学核心素养的培养奠定基础．

教师见到学生的学习热情比较高，于是给学生布置一道自主练习的题目：

穷人向地主借钱，吝啬的地主竟然满口答应了下来，地主每天给穷人１００块钱，穷人从第一天开始还给富人一分钱，第二天还２分钱，此后每天所还钱数均为前一天的两

倍，约定期限为３０天．问，最后穷人能否盈利．

学生自主思考问题，可以适当进行小组讨论．教师巡视，观看学生自主解题的成果．当大部分的学生解答完问题之后，教师邀请一名同学上台分享自己的解题思路和解题过程．

生：首先要计算地主总共给了穷人多少钱，即Ｔ＝１００×３０＝３０００元．然后计算穷人还给富人多少钱，即 a1＝１，q＝２，单位为分，将其带入到等比数列的前n项和公式中，换算之后可以得出Ｓ＝１０７３７４１８．２３元，最后通过对比可以发现穷人最后亏了上千万元．

师：这位学生做得非常好，这道题表面是一道比大小的问题，但是如果将数学元素找出来，并进行数学建模，可以发现其本质是等比数列前n项和的应用案例，同学们可以细细感悟一下这种思想转化法的运用．

【设计意图】布置这种数学问题的核心目的是巩固等比数列前n项和的知识，辅助目的则是提高学生的学习兴趣，激发他们的学习积极性以及自信心，从而构建高效的数学课堂，培养学生们的数学核心素养．

教学反思：

数学核心素养并非借助某一节课程就可以培养成功，但是教师需要将数学核心素养的内容细化到每一节课中，甚至细化到每一个环节之中．在教学前期，教师要制定与核心素养相关的教学目标．然后深挖教材，制定科学合理的教学计划，在各个环节融入核心素养．从本节课的教学情况来看，我主要讲解等比数列中的一小节，即等比数列前n项和的推导与求解．在教学方法上，我利用情境教学法、生活化教学法、多媒体教学法等多种方法来丰富数学课堂，不仅帮助学生理解并掌握了相关的知识，更重要的是提高了他们的数学综合能力，培养了他们的核心素养，这既符合新课标的要求，也是高中数学教学改革发展的必然举措．https://math.sqnu.edu.cn/sfrz/zc

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