函数的单调性

课    题：函数的单调性

教材分析：

本节课的教学内容是选自苏教版数学必修一中的第二章第三节第二课时内容，本节课主要介绍了函数单调性的判断方法，包括依据定义证明函数单调性、依据函数图像判断单调性以及一些常见函数的单调性的直接判断。研究函数的单调性体现了数学数形结合的思想，体现了从一般到特殊的教学细想，有利于学生的数学素养的培养。

学情分析：

在学习本节课内容之前，学生已经学习过一次函数、二次函数的图像，大概了解了常见的函数的增减区间范围。对于一些常见函数的单调性可以进行直接判断。此外上一个课时学生已经了解到了增函数和减函数的基本定义，教师结合已学过的函数图像帮助学生分析定义中的 x1、x2以及 f(x1)、f(x2) 之间 的关系，已经知道如何如去判断函数的增减性的一般方法，只 是没有经过专项练习熟练度还不够。同时学生对于图像的分析中所用的观察、类比、迁徙的能力还是比较弱，还需要加以练习强化。

教学目标：

1、 掌握用定义证明法分析函数单调性的方法和步骤，学会将文字语言转化成数学语言； 2、学会用图像法，判断函数的单调性，学会从图形语言 转化成数学语言；

3、通过自主探究活动，让学生主动观察、分析、探索体验数学概念形成的过程，体会

从特殊到一般的过程，以此激发求知欲。

教学重点：通过定义法、以及图像法，进行简单函数单调性的判定。

教学难点：启发学生自主探究函数单调性，定义法、以及图像法，进行简单函数单调性的判定。

教学过程：

1、课堂引入

教师：PPT 展示股票变化图、PM2.5 一天中的图像，让学生回顾增函数、减函数的定

义。

【师生互动】教师引导学生回顾增减函数的定义，当 x1 ＜ x2 以及 f(x1) ＜ f(x2) 时为增函数，而当 x1 ＜ x2 以及 f(x1) ＞ f(x2) 时为减函数。

【设计意图】通过学生对增减函数定义的回顾，对后面利用定义法去求函数打下基础。2、合作探究

（1） 定义法：

教师：请学生讨论 f(x)= x +a/x （a ＞ 0）函数的单调性

学生：首先要先判断函数的单调性，（教师提示） f(-x)=-x- a/x =-f(x)，所以为奇函数。

因而在进行函数增减项讨论时，可以先讨论 x ＞ 0 上的单调性。

【师生互动】教师与学生共同讨论单调性。任取 x2 ＞ x1 ＞ 0 时，用作差法算出

f(x2)-f(x1) 问题 1：如何化简 f(x2)-f(x1) ？

学生：f(x2)-f(x1)=x2+a/x2 -x1- a/x1 =(x2-x1)-( a/x2 – a/1x )

问题 2：如何讨论最后的化简式的正负值？

学生：已知 x2-x1 ＞ 0 ，故 f(x1) ＞ f(x2)，为单调递减。

问题 3：如何确定此函数的减区间？（提示学生不要忽略 x ＜ 0 的情况）

学生：减区间为（- a，0），（ a ,0）

教师总结定义法的一般步骤“取值定义 x2，x1—做差 f(x2)-f(x1)—变形 —定号—判断”

【设计意图】利用定义法去求函数的单调性，将函数的单调性以及函数的奇偶性进行联系，然后在进行分组讨论。这时需要教师设计好讨论问题，学生分析问题，进行讨论，从而解决问题。讨论有利于学生与老师之间、学生相互之间的交流有效信息，能充分调动学生的学习主动性、积极性，有利于培养学生的思维发散、想象等多方面的能力。

（2） 图像法

教师：对于函数单调性的检验，除了定义法之外，还有一种常用的方法就是图像法，

而图像法主要有两种情况，一是给出已知图像，分析函数单调性。二是给出函数解析式，画出对应的函数图像。比如如果让大家讨论 f(x)= |x|(1-x) 的增 区间。

学生：讨论如何去掉绝对值，x ≤ 0 时，f(x)=-x(1-x)， 而当 x ＞ 0 时，f(x)=x(1-x)，

教师：这样就将不熟悉的函数转化成两个二次函数，那请同学们现在画出对应的函数图像。

学生：分段画出二次函数的图像，利用直观法判断函数的单调性。可以很明显的看出增区间为（0， 1 2 ）。

【设计意图】利用图像法去求函数的单调性，首先用到了一种转化的思想，通过数形结合帮助学生分析从图形、直观认识入手，研究单调性的概念，其本身就是研究、学习数学的一种方法，符合新课程的理念。

（3） 练习巩固

在理解概念的基础上，让学生总结判别函数单调性的方法：图象法和定义法。并完成

书上的练习。

【设计意图】新课程要求：做到“用教材教，而不是教教 材”，新课程标准允许教师根据教学目标，遵循拓展、开放、 综合的原则，选择教学内容。在本节课中，通过解题，帮助学 生初步构建解题模式。

（4） 回顾总结

通过师生互动，回顾本节课的概念、方法。

【设计意图】体现“教师为主导，学生为主体”的思想。 通过小结使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识， 能抓住重点进行课后复习。

（5） 课外作业

【设计意图】通过作业进一步巩固本节课所学的增、减函数的概念，强化基本技能训练和解题规范化的训练，并且以此作为学生对本结内容各项目标落实的评价。

【教学反思】心理学认为：“课堂上只有经常性启发学生动手、动口、动脑，自己去发现问题，解决问题，才能使学生始终处于一种 积极探索知识，寻求答案的最佳学习状态中。及时提出问题， 让学生来找错误，这样就自然地延长了学生对这一学习材料的 感知时间和强度。数学课堂上，要落实学生的主体地位，重点 和关键是要让学生在课堂上独立思考，使学生敢想、敢说，不受约束地去探究、思考。https://math.sqnu.edu.cn/sfrz/zc