函数的奇偶性

课    题：函数的奇偶性

教材分析：

本节内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A 版必修1 第一章第三节。函数奇偶性是研究函数的一个重要方法，因此成为函数的重要性质之一，新教材把它放在函数的性质一节和函数单调性一起讲解是有它深远的意义的，为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用。函数奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用，因此本节课充满着数学方法论的渗透教育，同时又是数学美的集中体现。

学情分析：

学生已经学习了函数的单调性，对于研究函数性质的方法已经有了一定的了解，尽管他们尚不知函数奇偶性, 但在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图像的特殊对称性早已有一定的感性认识。高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高，所以本节有些知识点的得到还需要老师从中扮演好启发、引导者的角色。

教学要求：理解奇函数、偶函数的概念及几何意义，能熟练判别函数的奇偶性。

教学重点：熟练判别函数的奇偶性。

教学难点：理解奇偶性。

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：什么叫增函数、减函数？

2.指出f(x)＝2x－1的单调区间及单调性。 →变题：|2x－1|的单调区间

3.对于f(x)＝x、f(x)＝x、f(x)＝x、f(x)＝x，分别比较f(x)与f(－x)。

二、讲授新课：

1.教学奇函数、偶函数的概念：

①给出两组图象：、、；、.

现在请同学们发现各组图象的共同特征  → 探究函数解析式在函数值方面的特征

老师:现在请大家观察这两个函数有什么共同的特点？请同学起来回答。

同学1:-1和1对的函数值相等，-2和2对的函数值相等，-3 和3也一样。

老师:非常好，那么你能用数学表达式表示出来吗？

同学1:f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),f(-3)=f(3) 。

老师:相当不错。请坐！那么哪位同学能否由这些等式得 出这两个函数一般的共同性质。

同学2: f(-x)=f(x)。

老师:很好，我们可以看到，这两个函数对于定义域内的 任何一个自变量x，都有f(-x)=f(x)。 此时，老师立即用幻灯片给出偶函数的定义:如果对于函 数的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数就叫做偶函数。

老师:同学们，现在你们观察一下这两个函数的图像有什么共同特点呢？

同学们:关于轴对称。

老师:不错，这就是偶函数的图像的特点。

② 定义偶函数：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数（even function）.

③ 探究：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义.

（如果对于函数定义域内的任意一个x，都有），那么函数叫奇函数。

④ 讨论：定义域特点？与单调性定义的区别？图象特点？（定义域关于原点对称；整体性）

⑤ 练习：已知f(x)是偶函数，它在y轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。

 （假如f(x)是奇函数呢？）

1. 教学奇偶性判别：

例1．判断下列函数是否是偶函数．

（1）

（2）

例2．判断下列函数的奇偶性

（1）    （2）   （3）   （4）．

（5）   （6）

4、教学奇偶性与单调性综合的问题：

①出示例：已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，问f(x)的(-∞,0)上的单调性。

②找一例子说明判别结果（特例法） → 按定义求单调性，注意利用奇偶性和已知单调区间上的单调性。  （小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论）

③变题：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证明。

三、巩固练习：

1、判别下列函数的奇偶性：

f(x)＝|x＋1|+|x－1|   、f(x)＝、f(x)＝x＋、f(x)＝、f(x)＝x,x∈[-2,3]

2.设f(x)＝ax＋bx＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。

3.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝，求f(x)、g(x)。

4.已知函数f(x)，对任意实数x、y，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试判别f(x)的奇偶性。(特值代入)

5.已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是（     ）函数，且最   值是        。

四、小结

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．

五、作业P39页A组6、B组3

教学启示：

本节课以问题串的形式进行启发、引导，学生自己填写表格，找出两个函数代数上的共同点，得到偶函数的定义，主要是想培养学生对数的观察能力，以及培养学生的归纳概括能力。而画图的时候可能有一部分同学对前面绝对值函数的图像掌握得不太熟悉，所以我提出可以相互讨论，希望可以通过合作学习的方式对基础相对较差的学生给予指导，培养学生一种互帮互助的精神。图像画出来以后，同学们都可以通过图像观察出偶函数的图像的特征，培养了他们对图像的观察能力。这里我根据知识的发生、发展过程以及对学生的能力的适当的评估，引导学生自己动手，动脑得出偶函数的定义和图像特征，这个过程我并没有刻意去追求“还课堂给学生”，但整个过程自然，流畅，营造了人人参与的气氛，让学生得到了充分的锻炼，激发了学生的灵气。

教学反思：

新课程改革提出把课堂还给学生，表面上好像解放了老师，其实不然，要让一堂课的知识点完全由学生自己总结、归纳，目前是不大现实的，所以老师应该在整个课堂中起好启发、引导作用，而这个引导者的角色并不好当，如果问题太简单，启发过了头，学生起不到思考的作用，此时老师就应该把问题的难度，跨度加大;如果问题太难，引导不到位，就像片段 三中，最后问题还是由老师自己解决，学生也起不到锻炼的效 果，此时老师就应该对问题多设几个桥梁，从而减小问题的难 度。对这个度的把握，就需要老师站得更高，对知识点和学生 的情况有很高的熟悉程度，备课设置问题和相关环节时多考虑 学生可能出现的情况，上课随时调整。 《学记》上说“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达"。说的 是要引导学生，但决不牵着学生的鼻子;要严格要求学生，但决 不使学生感到压抑;要在问题开头启发学生思考，决不把最终结 果端给学生。新课改要求教师在授课时把学生放在主体地位， 让学生自主地参与和完成课堂中的活动，而教师只是学生中的 一员，在整个授课过程中要起好起启发、引导的作用https://math.sqnu.edu.cn/sfrz/zc