空间几何体的表面积和体积

课    题：空间几何体的表面积和体积

教材分析：

本节课是高中教材《数学》必修二第一章第三节《空间几何体的表面积和体积》的第一

小节，是学生在掌握基本几何体图形的基础上，进一步研究空间几何体的表面积和体积。因此本节课是至关重要的，它对知识的掌握具有承上启下的作用。

学情分析：

    学生通过初中的学习，已对本节内容有一定的认识，但是由于本节涉及的公式较多，也比较复杂，因此在讲解时，要对主要知识点进行疏理，并要针对学生容易混淆的公式，运用类比的方法帮助学生理解及区分，同时按学生的实际水平，选择难度适当并有代表性的题目进行分析并加以练习强化。

教学目标：了解柱、锥、台的表面积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.

教学重点：运用公式解决问题.

教学难点：理解计算公式的由来.

教学过程：

(一)、复习准备：

1. 讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？

2. 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？

(二)、1. 教学表面积计算公式的推导：

① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）

② 练习：求各面都是边长为10的等边三角形的正四面体S-ABC的表面积.

  一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.

③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）

圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。

圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为，S=，S=，其中为圆锥底面半径，为母线长。

圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为，S=，S=.

④ 练习：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积.  （变式：求切割之前的圆锥的表面积）

2. 教学表面积公式的实际应用：

① 出示例：一圆台形花盆，盘口直径20cm，盘底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm，盘壁长15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂200个这样的花盘要多少油漆？

 讨论：油漆位置？→ 如何求花盆外壁表面积？  列式 → 计算 → 变式训练：内外涂

② 练习：粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长分别为80mm、440mm，高是200mm, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.

(三)、巩固练习：

1. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD，求其表面积.

2. 圆台的上下两个底面半径为10、20, 平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比为1：1，求截面的半径. （变式：r、R；比为p:q）

3. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，求这个圆锥的表面积.

*4. 圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.

5. 面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？

(四)、1. 教学柱锥台的体积计算公式：

① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理，教材P34）

② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？

  →给出柱体体积计算公式： （S为底面面积，h为柱体的高）→

③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？

④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？  →给出锥体的体积计算公式：  S为底面面积，h为高）

⑤ 讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？

  → 如何计算台体的体积？

⑥ 给出台体的体积公式：  （S，分别上、下底面积，h为高）

  → （r、R分别为圆台上底、下底半径）

⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？

从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

 讨论：侧面积公式是否也正确？圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？

(五)1. 教学体积公式计算的运用：

① 出示例：一堆铁制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六边形边长12mm，内空直径10mm，高10mm，估算这堆螺帽多少个？（铁的密度7.8g/cm³）

 讨论：六角螺帽的几何结构特征？→ 如何求其体积？ → 利用哪些数量关系求个数？

② 练习：将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器中，量得水面高度为6cm；若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形容器中，求水面的高度.

(六)、巩固练习：1. 把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求这三部分自上而下的体积之比。

2. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为4，求圆锥的体积.

*3. 高为12cm的圆台，它的中截面面积为225πcm²,体积为2800cm³，求它的侧面积。

4. 仓库一角有谷一堆，呈1/4圆锥形，量得底面弧长2.8m，母线长2.2m，这堆谷多重？720kg/m³

(七)、1. 教学球的表面积及体积计算公式：

① 讨论：大小变化的球，其体积、表面积与谁有关？

② 给出公式：   V= ；S=4R^2.    （R为球的半径）

→讨论：公式的特点；球面是否可展开为一个平面图形？

（证明的基本思想是：“分割→求体积和→求极限→求得结果”，以后的学习中再证明球的公式）

③ 出示例：圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求球的体积与圆柱体积之比；证明球的表面积等于圆柱的侧面积.讨论：圆柱与球的位置关系？（相切） → 几何量之间的关系（设球半径R，则…）

→ 师生共练 → 小结：公式的运用. → 变式：球的内切圆柱的体积

④练习：一个气球的半径扩大2倍，那么它的表面积、体积分别扩大多少倍？

2. 体积公式的实际应用：

① 出示例：一种空心钢球的质量是142g，外径是5.0cm，求它的内径. （钢密度7.9g/cm³）

  讨论：如何求空心钢球的体积？

② 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.

③ 探究阿基米德的科学发现：图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的 ，球的表面积也是圆柱全面积的.

(八)、巩固练习：

1. 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为6cm，求这个球表面积和体积。

2. 如果球的体积是V_球，它的外切圆柱的体积是V_圆柱，外切等边圆锥的体积是V_圆锥，求这三个几何体体积之比.

3. 如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。

*4．一个正方体的内切球的体积为V，求正方体的棱长。若球与正方体的各棱相切，则正方体的棱长是多少？

5. 求正三棱柱的外接圆柱体体积与内切圆柱体积之比.

6. 已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4, 求此球的表面积和体积.

课后反思：

表面积的公式的推导除了台体的之外其他的都较简单，因此重点是公式的应用。对于体积的公式的推导就是本节课的难点学生掌握的也不好，因此作为课后学习拓展学习资料。

从简到繁，由易到难，层层推进，设计练习系列，遵循学生认知规律，或许能够有效化解难点。关键是找准学生认知起点，明晰学生思维特点及能力，在学习中充分体现学生的主体性及独立性，并且给予学生足够的时间及空间去体验学习过程。https://math.sqnu.edu.cn/sfrz/zc