直线与平面垂直的判定-理学院

教学重难点
1、掌握直线与平面垂直的定义，直线与平面垂直的判定定理与性质定理。
2、通过直观感知，在实践操作中发展学生几何直观能力，进一步培养学生的空间观念。
3、在探索运用直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想。

教学过程
（一）通过小题复习引入
问题 1: 下列条件中，能证明直线 l ⊥ 平面 α 的是
( 1) l 与平面 α 内的两条直线垂直
( 2) l 与平面 α 内的无数条直线垂直
( 3) l 与平面 α 内的任意一条直线垂直
( 4) l 与平面 α 内的两条相交直线垂直
教师: 这是一道不定项选择题，你选哪个? 为什么?
学生 1: 选( 3) ( 4) ，( 3) 就是线面垂直的定义，( 4) 是线面垂直的判定定理。
教师: 很好! 线面垂直的定义要强调其中的“任意”。线面垂直判定定理要强调“两条相交直线”。谁来上黑板写一下线面垂直的判定定理的数学符号语言，并画出简图。
学生 2: 上黑板演示
教师: 他写得对不对，我们一起看一下，订正并板书。
问题 2: 直线 l 与直线 m 不重合，如果直线 l ⊥ 平面 α ，则下列判断正确的有个。
( 1) 若直线 m ⊥ l ，则 m/ /α ;
( 2) 若 m ⊥ α ，则 m/ /l ;
( 3) 若 m / /α ，则 m ⊥ l ;
( 4) 若 m / /l ，则 m ⊥ α 。
学生 3: 3 个
教师: 哪 3 个是正确的，你怎么判断的?
学生 3: ( 2) 是线面垂直的性质定理，( 3) 由定义显然成立，( 4) 是书上的例题，可以直接判断。
教师: 在做这类问题时，我们除了可以运用书上的定理定义结论之外，别忘了也可以利用手边的工具，创造平面、直线来判断，这样更直观。

问题3: ( 1) 如图 1，在正三棱柱 ABC -A1B1C1 中，过点 A1 作直线垂直于平面 BB1C1C ; ( 2) 如图 2，在正方体 ABCD -A1B1C1D1中，过点 B 作直线垂直于平面 AA1C1C。

学生4、5: 上黑板分别作图。

( 1) 过点 A1 作 A1D1 ⊥ B1C1 于点D1 ，垂线是 A1D1 ; ( 2) 连接 BD，由正方形底面对角线互相垂直，

垂线就是BD 。

教师: 第一问再加一问过 A 点作直线 ⊥ 平面 BB1C1C，怎么作图呢?

学生6: 过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D ，垂线为 AD。

教师: 那么直线 AD 和直线 A1D1 的位置关系是什么呢? 为什么?

学生7: 两直线平行，可以由线面垂直的性质定理得证。

问题4: AB 是圆 O 的直径， PA 垂直于圆 O 所在平面， C 是圆上不同于 A，B 的任一点，则三棱锥 P － ABC 的四个表面中，直角三角形有哪些在该三棱锥中，有哪些是线面垂直。

学生8: 由线面垂直从而线线垂直有 ΔPAB，ΔPAC，由直径有ΔABC

教师: 还有没有了，找全了吗?

学生9: 由 BC ⊥ AC，BC ⊥ PA，有 BC ⊥ 平面 PAC，从而 BC ⊥PC，所以还有 ΔPBC 教师: 很好，这里一共 4 个面，4 个三角形都符合，那么第二问呢?

学生10: PA ⊥ 平面 ABC，还有 BC ⊥ 平面 PAC

( 二) 典型例题

例1、如图 3， P 为 ΔABC 所在平面外一点， PA ⊥ 平面 ABC ， ∠ABC = 90°， AE ⊥PB 于点 E ， AF ⊥ PC 于点 F ，求证: ( 1) BC⊥ 平面 PAB ; ( 2) AE ⊥ 平面 PBC ; ( 3) PC⊥ EF。

教师: 请同学们思考下，谁能讲一讲自己的思路?

学生11: 第( 1) 问， BC ⊥ AB，BC ⊥ PA ，再补充 3 个条件可证。

学生12: 第( 2) 问， AE ⊥ PB，由( 1) AE ⊥ BC ，可得结论。

学生13: 由 PC ⊥ AF，由( 2) PC ⊥ AE ，可证 PC ⊥平面 AEF，可证第( 3) 问。

教师: 他们讲得很好，下面请大家把解题思路整理下，写出完整的过程。

变1、在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，BC = BB1 = 1，AB = 2，点E 是 CD 的中点，求证: 直线 BE⊥平面 A1AE

教师: 请同学们分小组讨论一下，看哪个小组思考得最快。

学生14: ( 5 分钟后) 由长方体的底面矩形 ABCD 中的线段长度，满足勾股定理得到 BE⊥AE，并且由侧棱垂直于底面得 BE⊥AA1，从而得证。

教师: 看来还是人多力量大，你们小组的同学真是好样的。解题过程请大家回去完成。好了，请你再观察下这题与例 1 第一问有什么异同呢? 看一看它们的图形以及证明的思路。

学生15: 例 1 是在三棱锥里研究垂直，这题是在长方体里。但是它们证明的过程有点相似。

教师: 说得越来越接近了。再看一看在长方体中我们有没有三棱锥?

学生16: 有，三棱锥 A1 － ABE，只要把它从长方体中拿出来，由勾股定理得到线线垂直后就可以由例 1 的第一问的思路来证明了。

教师: 很好，我们的同学真是观察力敏锐。

教师: 大家刚才变现得非常好，现在请思考老师今天的压轴题。

课堂小结

教师: 通过今天所学的内容，大家最后来做一个总结。请看投影仪。

问题1、通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法? 各是什么? 用数学语言叙述。

学生17: 有线面垂直的定义还有线面垂直的判定定理。( 数学语言略)

问题2、有哪些证明线线垂直的方法( 注意特殊图形的特点)

学生18: 可以由线面垂直证到线线垂直。直棱柱、正棱柱侧棱垂直于底面中的任意一条线。等腰、等边三角形三线合一，菱形、正方形对角线互相垂直。还可以由勾股定理找垂直。

教师: 好的。课后请大家把今天的内容认真巩固下，没写完的证明过程补充完整，另外完成这样的两道题。

巩固练习
1、四面体 ABCD 中，BC = BD，AD = AC，E 是 CD 中点，判断直线 CD 与平面 ABE 位置关系，直线 AB 与 CD

2、在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，证明: ( 1) A1C⊥BD ( 2)B1D⊥BC1
教学反思
本节课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。教学设计力求在型( 模型、类型) ，质( 实质、本质) ，思( 思维、思想方法) 上达到教学效果。本节课还应让学生操练得更多些。把学习的主动权还给学生，让学生自主经历发现问题、研究问题、解决问题的学习过程，使我们的数学课堂生动起来，师生之间的真诚互动凸现出民主和谐。在学生已经直观感知直线与平面垂直的基础上让学生亲自动手，思考探究，使其经历知识的形成过程。https://math.sqnu.edu.cn/sfrz/zc

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