指数函数及其性质

课    题：指数函数及其性质

教材分析：

《指数函数》是人教版高中数学（必修）第一册第二章“函数”的第六节内容，是在学习了《指数》一节内容之后编排的。通过本节课的学习，既可以对指数和函数的概念等知识进一步巩固和深化，⼜可以为后面进一步学习对数、对数函数尤其是利用互为反函数的图象间的关系来研究对数函数的性质打下坚实的概念和图像基础，又因为《指数函数》是进入高中以后学生第一个系统研究的函数，对高中阶段研究对数函数、三角函数等完整的函数知识，初步培养函数的应用意识打下良好的基础。所以《指数函数》不仅是本章《函数》的重点内容，也是高中学段的主要研究内容之⼀，有着不可替代的作用。

学情分析：

学生已经学习了函数的概念、图象与性质，对函数有了初步的认识．学生已经完成了指数取值范围的扩充，具备了进行指数运算的能力。学生已有研究一次函数、二次函数等初等函数的直接经验．学生数学基础与思维能力较好，初步养成了独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯。学生需要对研究的目标、方法和途径有初步的认识，需要具备较好的归纳、猜想和推理能力。

教学目标：

使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质. 掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；培养学生数学应用意识

教学重点：掌握指数函数的的性质及应用．

教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的？学生一起回答。

2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？学生一起回答。

3. 提问：底数a可否为负值？为什么？为什么不取a=1？学生一起回答。

二、讲授新课：

1.教学指数函数模型思想及指数函数概念：

①探究两个实例：

A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？

B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？

②讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？

③ 定义：一般地，函数 叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R.

④讨论：为什么规定 a＞0且 ≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中其它指数模型？

2.教学指数函数的应用模型：

① 出示例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．

(Ⅰ)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？

(Ⅱ)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？

 （师生共同读题摘要→ 讨论方法 → 师生共练→ 小结：从特殊到一般的归纳法）

② 练习： 2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？

③ 小结指数函数增长模型：原有量N，平均最长率p，则经过时间x后的总量y=？ →一般形式：

3. 教学指数形式的函数定义域、值域：

① 讨论：在[m，n]上，指数函数的值域？

② 出示例1. 求下列函数的定义域、值域.

  讨论方法→ 师生共练 → 小结：方法（单调法、基本函数法、图象法、观察法）

② 出示例2. 求函数的定义域和值域.

 学生讨论：求定义域如何列式？  求值域先从那里开始研究？

4. 教学指数函数的图象和性质：

① 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？

② 回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

       研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

③ 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象（师生共作→小结作法）

④ 探讨：函数与的图象有什么关系？如何由的图象画出的图象？根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或1/3等后？

⑤ 归纳：指数函数的性质

3、例题讲解

例1：（P56 例6）已知指数函数 （a＞0且 ≠1）的图象过点（3，π），求

例2：（P56例7）比较下列各题中的个值的大小

（1）1.7^2.5  与  1.7³

( 2 )与

( 3 )  1.7^0.3  与  0.9^3.1

例3：求下列函数的定义域：

（1）    （2）

例4 求函数 的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.

例5（P57例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

三、巩固练习：

1、 一片树林中现有木材30000m3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材ym3，写出x，y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m3

2、函数是指数函数，则的值为     .

3、探究：在[m，n]上，值域？

4、 比较大小： ；.

5、已知函数，求这个函数的值域。

四、小结

1、理解指数函数

2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想 .

五、作业

P59  习题2.1  A组第5、7、8题

课后反思：

指数函数是一种函数模型，其基本特征是自变量在指数位置．底数取值范围有规定，使得这一模型形式简单又不失本质．把重点放在概念的合理性的理解以及体会模型思想。在学生自主探索的过程中，教师应注意培养学生良好的思维习惯．实际上，选择底数aa的数据的大小和数量，需要对指数函数的性质有预判；从列表到作图的过程中，都可以感受到指数函数单调性等性质；观察并归纳性质，既需要特殊到一般的推理模式，也应养成有序进行观察和归纳的良好的思维习惯．对所归纳的指数函数的性质，应根据学生已有的知识水平或教学要求进行证明或合理的说明．学生不仅学到了数学知识，也初步体验了研究问题的基本方法。https://math.sqnu.edu.cn/sfrz/zc